(07年天津卷文)(14分)
設函數(
),其中
.
(Ⅰ)當時,求曲線
在點
處的切線方程;
(Ⅱ)當時,求函數
的極大值和極小值;
(Ⅲ)當時,證明存在
,使得不等式
對任意的
恒成立.
本小題主要考查運用導數研究函數的性質、曲線的切線方程,函數的極值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.
解析:(Ⅰ)當時,
,得
,且
,
.
所以,曲線在點
處的切線方程是
,整理得
.
(Ⅱ)
.
令,解得
或
.
由于,以下分兩種情況討論.
(1)若,當
變化時,
的正負如下表:
因此,函數在
處取得極小值
,且
;
函數在
處取得極大值
,且
.
(2)若,當
變化時,
的正負如下表:
因此,函數在
處取得極小值
,且
;
函數在
處取得極大值
,且
.
(Ⅲ)證明:由,得
,當
時,
,
.
由(Ⅱ)知,在
上是減函數,要使
,
只要
即
①
設,則函數
在
上的最大值為
.
要使①式恒成立,必須,即
或
.
所以,在區間上存在
,使得
對任意的
恒成立.
科目:高中數學 來源: 題型:
(07年天津卷文)(14分)
設橢圓的左、右焦點分別為
是橢圓上的一點,
,原點
到直線
的距離為
.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求使得下述命題成立:設圓
上任意點
處的切線交橢圓于
,
兩點,則
.
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