Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a＞0．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證： .

Answer 1

【答案】（1）切線方程：y=x﹣1，（2）見解析，（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出f（1），然后得到取得坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a的討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后求解函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）利用函數(shù)的極值點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化證明即可．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（1）=0，f′（x）=+2（x﹣1），f′（1）=1，

曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程：y=x﹣1.

（2）∵f（x）=lnx+ax2﹣2ax+a （x>0）

①當(dāng)△=4a2﹣8a≤0即0＜a≤2時(shí)，f′（x）＞0，

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0．+∞）．

②當(dāng)△=4a2﹣8a＞0時(shí)，即a＞2時(shí)，令f′（x）=0得 ．

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（x2，+∞）和（0，x1），單調(diào)遞減區(qū)間是（x1，x2）．

（3）證明：∵f（x）在（x2，+∞）單調(diào)遞增，且x2＜1，

∴f（x2）＜f（1）=0，不等式右側(cè)證畢。′

∵f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴a＞2．故 ，

令 ，

∴g（x）在（ ）單調(diào)遞增． 故

不等式左側(cè)證畢．綜上可知： ．