函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式.
(2)設g(x)=f(x)-cos2x,求函數g(x)在區間[0,]上的最大值和最小值.
(1) f(x)=sin(2x+)
(2) 當2x-=
,即x=
時,g(x)取最大值為1;
當2x-=-
,即x=0時,g(x)取最小值為-
.
【解析】【思路點撥】(1)由圖象及題設中的限制條件可求A,ω,φ.
(2)將f(x)代入g(x)整理化簡為一個三角函數,再由x的范圍求最值即可.
【解析】
(1)由圖可得A=1,=
-
=
,所以T=π,所以ω=2.
當x=時,f(x)=1,
可得sin(2×+φ)=1,
因為|φ|<,所以φ=
.
所以f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+).
(2)g(x)=f(x)-cos2x
=sin(2x+)-cos2x
=sin2xcos+cos2xsin
-cos2x
=sin2x-
cos2x
=sin(2x-).
因為0≤x≤,所以-
≤2x-
≤
.
當2x-=
,即x=
時,g(x)取最大值為1;
當2x-=-
,即x=0時,g(x)取最小值為-
.
【方法技巧】由圖象求解析式和性質的方法和技巧
(1)給出圖象求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的難點在于ω,φ的確定,本質為待定系數,基本方法是①尋找特殊點(平衡點、最值點)代入解析式;②圖象變換法,即考察已知圖象可由哪個函數的圖象經過變換得到,通常可由平衡點或最值點確定周期T,進而確定ω.
(2)由圖象求性質的時候,首先確定解析式,再根據解析式求其性質,要緊扣基本三角函數的性質.例如,單調性、奇偶性、周期性和對稱性等都是考查的重點和熱點.
科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十二第八章第三節練習卷(解析版) 題型:選擇題
當a為任意實數時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,為半徑的圓的方程為( )
(A)x2+y2-2x+4y=0 (B)x2+y2+2x+4y=0
(C)x2+y2+2x-4y=0 (D)x2+y2-2x-4y=0
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十七第八章第八節練習卷(解析版) 題型:填空題
坐標平面上有兩個定點A,B和動點P,如果直線PA,PB的斜率之積為定值m,則點P的軌跡可能是:①橢圓;②雙曲線;③拋物線;④圓;⑤直線.試將正確的序號填在橫線上: .
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十一第八章第二節練習卷(解析版) 題型:選擇題
若點A(3,5)關于直線l:y=kx的對稱點在x軸上,則k是( )
(A) (B)±
(C) (D)
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十一第八章第二節練習卷(解析版) 題型:選擇題
平面直角坐標系中直線y=2x+1關于點(1,1)對稱的直線方程是( )
(A)y=2x-1 (B)y=-2x+1
(C)y=-2x+3 (D)y=2x-3
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業二十第三章第四節練習卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,為了研究鐘表與三角函數的關系,建立了如圖所示的坐標系,設秒針針尖位置P(x,y).若初始位置為P0(,
),當秒針從P0(注:此時t=0)正常開始走時,點P的縱坐標y與時間t的函數關系為( )
(A)y=sin(t+
) (B)y=sin(-
t-
)
(C)y=sin(-t+
) (D)y=sin(-
t-
)
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業二十四第三章第八節練習卷(解析版) 題型:解答題
在海岸A處,發現北偏東45°方向、距離A處(-1)海里的B處有一艘走私船;在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10
海里/小時的速度追截走私船.同時,走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少時間?
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業二十六第四章第二節練習卷(解析版) 題型:填空題
已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起點為A(1,2),終點B在坐標軸上,則點B的坐標為 .
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科目:高中數學 來源:2014年高考數學全程總復習課時提升作業二十五第四章第一節練習卷(解析版) 題型:選擇題
在以下各命題中,假命題的個數為( )
①“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分條件
②任一非零向量的方向都是唯一的
③“a∥b”是“a=b”的充分不必要條件
④若|a|-|b|=|a|+|b|,則b=0
(A)1(B)2(C)3(D)4
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