Question

給出函數(shù)f(x)=

x2

x2+1

的四個性質(zhì)：
①f（x）在R上是增函數(shù)；
②f（x）的值域是[0，1）；
③f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
④f（x）存在最大值．
上述四個性質(zhì)中所有正確結(jié)論的序號是

③

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)函數(shù)可以確定函數(shù)的單調(diào)性，由于f′(x)=

2x

(x2+1)2

可判斷①錯；因為定義域為R，所以可判斷②④錯；利用偶函數(shù)的定義，可以得到函數(shù)為偶函數(shù)，可判斷③正確，由此可以得出結(jié)論．

解答：解：由題意，f′(x)=

2x

(x2+1)2

當(dāng)x＞0時，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時，f（x）是減函數(shù)，故①錯；
由于當(dāng)x＞0時，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時，f（x）是減函數(shù)，故②④錯；
由于f(-x)=

(-x)2

(-x)2+1

=f(x)，∴f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故③正確；
故答案為③

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，用好導(dǎo)數(shù)，偶函數(shù)的定義時解題的關(guān)鍵．