Question

（2013•浙江二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=

7

，點E為線段AD上的一點．現將△DCE沿
線段EC翻折到PAC（點D與點P重合），使得平面PAC⊥平面ABCE，連接PA，PB．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且點E為線段AD的中點，求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC，BD交于點O，證明AC⊥BD，利用平面PAC⊥平面ABCE，可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面PAB的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角P-AB-C的大小．

解答：（Ⅰ）證明：連接AC，BD交于點O，在四邊形ABCD中，
∵AB=AD=4，BC=CD=

7

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，
∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，以O為原點，直線OA，OB分別為x軸，y軸，平面PAC內過O且垂直于直線AC的直線為z軸建立空間直角坐標系，可設點P（x，0，z）
又A(2

3

，0，0)，B（0，2，0），C(-

3

，0，0)，E(

3

，-1，0)，
由PE=2，PC=

7

有

(x- 3 )2+1+z2=4 (x+ 3 )2+z2=7

，解得x=z=

2

3

3

，∴P(

2

3

3

，0，

2

3

3

)…（9分）
則有

AP

=(-

4 3

3

，0，

2 3

3

)，設平面PAB的法向量為

n

=(a，b，c)，
由

AP • n =0 AB • n =0

，即

z=2x y= 3 x

，∴可取

n

=（1，

3

，2），…（12分）
又易取得平面ABC的法向量為（0，0，1），并設二面角P-AB-C的大小為θ，
∴cosθ=

(0，0，1)•(1， 3 ，2)

1• 8

=

2

2

，∴θ=

π

4

∴二面角P-AB-C的大小為

π

4

．…（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．