Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中點．
（1）求異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（2）求BM與平面A₁B₁M所成的角大小．

Answer 1

分析：（1）由長方體的幾何特征，可得∠MA₁B₁為異面直線A₁M與C₁D₁所成的角，解△MA₁B₁即可得到異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（2）由長方體的幾何特征可得A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，進而由線面垂直的定義可得A₁B₁⊥BM，結合（1）中結論及勾股定理可得BM⊥B₁M，進而由線面垂直的判定定理可得BM⊥平面A₁B₁M，即BM與面A₁B₁M成90度角．

解答：解：（1）如圖，因為C₁D₁∥B₁A₁，
所以∠MA₁B₁為異面直線A₁M與C₁D₁所成的角．
因為A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，所以∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，B₁M=

2

，故tan∠MA₁B₁=

B1M

A1B1

=

2

．
即異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值為

2

．
（2）由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM?平面平面BCC₁B₁，得
A₁B₁⊥BM①
由（1）知，B₁M=

2

，
又BM=

BC2+CM2

=

2

，B₁B=2，
所以B₁M²+BM²=B₁B²，從而BM⊥B₁M②
又A₁B₁∩B₁M=B₁，
∴BM⊥平面A₁B₁M，
∴BM與面A₁B₁M成90度角．

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，其中利用平移法，將異面直線夾角轉化為解三角形問題是解答（1）的關鍵，而熟練掌握線面垂直的判定定理是解答（2）的關鍵．