Question

已知曲線f（x）=ax ²+2在x=1處的切線與2x-y+1=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求由曲線y=f（x）與y=3x，x=0，x=2所圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）利用曲線在切點處的導數為斜率求曲線的切線斜率；利用直線平行它們的斜率相等列方程求解．
（2）因為所求區域均為曲邊梯形，所以使用定積分方可求解．

解答：解：（1）y'=2ax，
于是切線的斜率k=y'|_x=1=2a，∵切線與直線2x-y+1=0平行
∴2a=2
∴a=1
故f （x ）的解析式f （x ）=x ²+2．
（2）聯立

y=x2+2 y=3x

，解得x₁=1，x₂=2
∴S=∫₀¹（x²+2-3x）d_x+∫₁²（3x-x²-2）d_x=

[ 1 3 X3+2X- 3 2 X2]

1 0

+

[ 3 2 X2- 1 3 X3-2X]

2 1

=1
所圍成的平面圖形的面積1．

點評：本題考查導數的幾何意義：曲線在切點處的導數值是切線的斜率以及用定積分求面積，要注意明確被積函數和積分區間，屬于基本運算．