Question

已知曲線f（x）=xcosx在點（

π

2

，0）處的切線與直線x-ay+1=0互相垂直，則實數(shù)a=

π

2

．

Answer 1

分析：由f（x）=xcosx，知f′（x）=cosx-xsinx，故曲線f（x）=xcosx在點（

π

2

，0）處的切線的斜率k=f′(

π

2

)=-

π

2

，再由曲線f（x）=xcosx在點（

π

2

，0）處的切線與直線x-ay+1=0互相垂直，能求出實數(shù)a．

解答：解：∵f（x）=xcosx，
∴f′（x）=cosx-xsinx，
∴曲線f（x）=xcosx在點（

π

2

，0）處的切線的斜率k=f′(

π

2

)=cos

π

2

-

π

2

sin

π

2

=-

π

2

，
∵曲線f（x）=xcosx在點（

π

2

，0）處的切線與直線x-ay+1=0互相垂直，
∴-

π

2

×

1

a

=-1，
∴a=

π

2

．
故答案為：

π

2

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答，注意直線互相垂直的關(guān)系的靈活運用．