Question

已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知。

（I）求證：平面；

（II）求到平面的距離；

（III）求二面角的大小。

	2,4,6

 

Answer 1

解：（I）因為平面，

所以平面平面，

又，所以平面，

得，又

所以平面；

（II）因為，所以四邊形為 

菱形，

故，又為中點，知。

取中點，則平面，從而面面，

       過作于，則面，

       在中，，故，

       即到平面的距離為。

       （III）過作于，連，則，

       從而為二面角的平面角，

       在中，，所以，

在中，，

       故二面角的大小為。

       解法2：（I）如圖，取的中點，則，因為，

       所以，又平面，

       以為軸建立空間坐標系，

       則，，，

，，

，，

，由，知，

       又，從而平面；

       （II）由，得。

       設平面的法向量為，，，所以

，設，則

       所以點到平面的距離。

       （III）再設平面的法向量為，，，

       所以

，設，則，

       故，根據法向量的方向，

       可知二面角的大小為。