Question

正項數列{a_n}滿足a₁=2，點A_n（）在雙曲線y²-x²=1上，點（b_n，T_n）在直線y=-x+1上，其中Tn是數列{bn}的前n項和．
①求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
②設C_n=a_nb_n，證明C_n+1＜C_n
③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整數m的最小值．

Answer 1

解：①由已知點A_n在y²-x²=1上知，a_n+1-a_n=1，
∴數列{a_n}是一個以2為首項，以1為公差的等差數列．
∴a_n=n+1
∵點（b_n，T_n）在直線y=-x+1上
∴T_n=-b_n+1①
∴T_n-1=-b_n-1+1②
①②兩式相減得b_n=-b_n+b_n-1
∴
令n=1得
∴，．
∴
②
∴
=
=
=＜0，
∴c_n+1＜c_n
③∵{c_n}遞減而m＞7c_n恒成立
∴m＞7c₁=而m∈N^*
∴m的最小值為10．
分析：①由題意知a_n=n+1，T_n=-b_n+1，T_n-1=-b_n-1+1，所以，由此可知．
②由題意知，由此可知=＜0，所以c_n+1＜c_n．
③由{c_n}遞減而m＞7c_n恒成立，知m＞7c₁=而m∈N^*，由此可知m的最小值為10．
點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．