Question

已知函數f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值，并寫出f（x）取最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若f（A）=

3

2

，b+c=2．求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,余弦定理

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）化簡可得解析式f（x）=1+sin（2x+

π

6

），從而可求函數f（x）的最大值，并寫出f（x）取最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）由題意，f(A)=sin(2A+

π

6

)+1=

3

2

，化簡可求得A的值，在△ABC中，根據余弦定理，由b+c=2，知bc≤(

b+c

2

)2=1，即a²≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求實數a的取值范圍．

解答： 本小題滿分（12分）
解：（Ⅰ）f(x)=2cos2x-sin(2x-

7π

6

)=(1+cos2x)-(sin2xcos

7π

6

-cos2xsin

7π

6

)=1+

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=1+sin(2x+

π

6

)．
∴函數f（x）的最大值為2．
當且僅當sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，即x=kπ+

π

6

，k∈Z時取到．
所以函數最大值為2時x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．…（6分）
（Ⅱ）由題意，f(A)=sin(2A+

π

6

)+1=

3

2

，化簡得 sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

．
在△ABC中，根據余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

π

3

=(b+c)2-3bc．
由b+c=2，知bc≤(

b+c

2

)2=1，即a²≥1．
∴當b=c=1時，取等號．
又由b+c＞a得a＜2．
所以a的取值范圍是[1，2 ）．…（12分）

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，余弦定理的應用，不等式的解法，屬于中檔題．