Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足；對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數f（x）=1+a•2^x+4^x，g（x）=

1-2x

1+2x

．
（1）當a=1時，求函數f（x）在（0，+∞）上的值域，并判斷函數f（x）在（0，+∞）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）求函數g（x）在[0，1]上的上界T的取值范圍；
（3）若函數f（x）在（-∞，0]上是以3為上界的函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法得到函數的表示式，根據二次函數的性質得到函數的值域，從值域上觀察不存在正數M，即函數在x∈（0，+∞）上不是有界函數
（2）據題意先研究函數g（x）在[0，1]上的單調性，確定函數g（x）的范圍，即分別求的最大值和最小值，根據上界的定義，得到上界的取值范圍．
（3）根據函數f（x）在（-∞，0]上是以3為上界的函數，得到|1+a2^x+4^x|≤3，換元以后得到關于t的不等式，根據二次函數的性質寫出對稱軸，求出a的范圍

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=1+a•2^x+4^x，設t=2^x，所以t∈（1，+∞）
∴函數的值域是（3，+∞），不存在正數M，即函數在x∈（0，+∞）上不是有界函數．
（2）g（x）=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1
又x∈[0，1]，函數在此區間上是減函數，故g（1）≤g（x）≤g（0）
∴

2

3

≤g（x）≤1
故上界的取值范圍是[1，+∞）
（3）由已知函數f（x）在（-∞，0]上是以3為上界的函數，即：|1+a×2^x+4^x|≤3
設t=2^x，所以t∈（0，1），不等式化為|1+at+t²|≤3
當0 ＜-

a

2

≤1時，1-

1

4

a2≥-3且2+a≤3得-2≤a＜0
當 -

a

2

≤0或-

a

2

≥1
即a≤-2或a≥0時，得-5≤a≤-2或0≤a≤1
綜上有-5≤a≤1

點評：本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉化為已有的知識和方法去解決，本題主要體現了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力．