Question

已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，E為棱BC的中點(diǎn).

(1)求證：A₁B∥ 面B₁DE；

(2)若底面邊長為1，側(cè)棱長為.求AB₁與平面B₁DE所成角.

Answer 1

(1)證明：取AD中點(diǎn)F，連BF、A₁F

則BF∥DE，∴BF∥面B₁DE 

且EFABA₁B₁,∴EFA₁B₁是平行四邊形

∴A₁F∥面B₁DE 

∴面A₁FB∥面B₁DE 

∴A₁B∥面B₁DE 

(2)以D₁為原點(diǎn),D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸,D₁D為z軸建立直角坐標(biāo)系

則B₁(1,1,0)  E(,1,)  D(0,0,)  A(1,0,) 

∴=(-,0,),=(-1,-1, ).

=(0,-1,) 

設(shè)平面B₁DE的法向量n=(1,y,z)

∴

∴n=(1,-,) 

設(shè)AB₁與平面B₁DE所成角為θ

則sinθ=

=

= 

∴θ=arcsin. 

(2)另解:設(shè)A到面B₁DE的距離為h.

則 

∵S_△ADE=,

B₁B⊥面ADE，且B₁B=.

又在△B₁DE中.

DE=

B₁E=.

B₁D= 

∴cos∠B₁DE=

∴sin∠B₁DE= 

∴=sin∠B₁DE

= 

∴h·1=· 

又AB₁=,設(shè)AB₁與平面B₁DE所成的角為θ

則sinθ= 

∴θ=arcsin