Question

（本小題滿分14分）

如圖，已知正三棱柱的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為．
（1）求此正三棱柱的側棱長；
（2）求二面角的正切值；
（3）求點到平面的距離．

Answer 1

（1）（2）3（3）

（1）設正三棱柱的側棱長為. 取中點，連結.
∵△是正三角形，∴.                       ．．．．．．．．．．．2分
又底面側面,且交線為,
∴側面. 連結，
則直線與側面所成的角為
在中，，解得.…………………4分
（2）過作于，連結，∵側面，∴.
∴為二面角的平面角.在中，
．．．．．．．．．．6分
又，∴,又．．．．．．．．．．8分
∴在中，.
故二面角的正切值為3.                        ……………9分
（3）由（2）可知，平面，∴平面平面，且交線為，
∴過作于，則平面.
在中， …………………12分
∵為中點，∴點到平面的距離為.…………………14分
（注：（2）、（3）也可用向量法求解，（3）還可以用等體積法）