Question

已知二次函數f（x）滿足：
（1）若f（x+1）=2x+f（x），f（0）=1，求f（x）的解析式；
（2）若f（2-x）=f（2+x），f（x）最大值為5，f（0）=1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）用待定系數法設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）f（0）=1⇒c=1，再利用兩方程相等對應項系數相等來求a，b．
（2）f（2-x）=f（2+x）⇒對稱軸是x=2，再有f（x）最大值為5，設f（x）=a（x-2）²+5利用f（0）=1求出a即可．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）（1分）
∵f（0）=1∴c=1（2分）
∵f（x+1）=2x+f（x）
∴a（x+1）²+b（x+1）+1=2x+ax²+bx+（13分）
整理，得2ax+a+b=2x（4分）
∴

2a=2 a+b=0

（5分）
∴

a=1 b=-1

（6分）
∴f（x）=x²-x+（17分）

（2）由f（2-x）=f（2+x），得f（x）對稱軸是x=2（8分）
設f（x）=a（x-2）²+5（10分）
由f（0）=1，得a×（0-2）²+5=1∴a=-1（12分）
∴f（x）=-（x-2）²+5．（13分）

點評：本題考查了二次函數解析式的求法．二次函數解析式的確定，應視具體問題，靈活的選用其形式，再根據題設條件列方程組，即運用待定系數法來求解．在具體問題中，常常會與圖象的平移，對稱，函數的周期性，奇偶性等知識有機的結合在一起．