Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且|

a

-k

b

|=

3

|k

a

+

b

|，其中k＞0，
（1）試用k表示

a

•

b

，并求出

a

•

b

的最大值及此時

a

與

b

的夾角為θ的值；
（2）當

a

•

b

取得最大值時，求實數λ，使|

a

+λ

b

|的值最小，并對這一結果作出幾何解釋．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

a

•

b

=-（ 

k

4

+

1

4k

），利用基本不等式可得

k

4

+

1

4k

≥2×

1

4

=

1

2

，故

a

•

b

≤-

1

2

，此時，

a

•

b

=-

1

2

=1×1cosθ，θ=120°．
（2）當

a

•

b

取得最大值時，

a

•

b

=-

1

2

=

1 -λ+λ2

，故當λ=

1

2

 時，|

a

+λ

b

|的最小值等于

3

2

，
這一結果的幾何解釋：平行四邊形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，當且僅當OC=

1

2

時，對角線OB最短為

3

2

．

解答：解：（1）∵|

a

|=|

b

|=1，|

a

-k

b

|=

3

|k

a

+

b

|，
∴

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2=3k²

a

2+6k

a

•

b

+3 

b

2，∴1-2k

a

•

b

+k²=3k²+6k

a

•

b

+3，
∴

a

•

b

=-（ 

k

4

+

1

4k

）．∵

k

4

+

1

4k

≥2×

1

4

=

1

2

，
∴

a

•

b

≤-

1

2

，當且僅當

k

4

=

1

4k

，即k=1時，取等號．
此時，

a

•

b

=-

1

2

=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）當

a

•

b

取得最大值時，

a

•

b

=-

1

2

，|

a

+λ

b

|=

| a +λ b |2

=

1+2λ• a • b +λ2

=

1 -λ+λ2

，
故當λ=

1

2

 時，|

a

+λ

b

|的最小值等于

1- 1 2 + 1 4

=

3

2

，
這一結果的幾何解釋：平行四邊形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，當且僅當OC=

1

2

時，對角線OB最短為

3

2

．

點評：本題考查兩個向量的數量積公式，兩個向量的數量積的定義，求向量的模的方法，基本不等式的應用，是一道中檔題．