Question

已知(1+2

3	x

)n的展開式中，某一項的系數是它前一項系數的2倍，而又等于它后一項系數的

5

6

，
（Ⅰ）求展開后所有項系數之和及所有項的二項式系數之和；
（Ⅱ）求展開式中的有理項．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=

5

6

C

r+1n

2r+1，
解得 n=7，r=4．  故展開后所有項系數之和為（1+2）⁷=3⁷，所有項的二項式系數之和為 2ⁿ=2⁷．
（Ⅱ）展開式中的通項  T_k+1=C₇^K•2^K•x

k

3

，k∈z，故當 k=0，3，6時的項為有理項，
故有理項為第一項  T₁=1，第四項 T₄=C₇³•8x=280x，第七項  T₇=C₇⁶•2⁶x²=448x²．