Question

已知(1+2

3	x

)n的展開(kāi)式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而又等于它后一項(xiàng)系數(shù)的

5

6

，
（Ⅰ）求展開(kāi)后所有項(xiàng)系數(shù)之和及所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由題意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=

5

6

C

r+1 n

2r+1，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出n值．
（Ⅱ）由展開(kāi)式中的通項(xiàng)  T_k+1=C₇^K•2^K•x

k

3

，k∈z，可知，故當(dāng) k=0，3，6時(shí)的項(xiàng)為有理項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=

5

6

C

r+1 n

2r+1，
解得 n=7，r=4．  故展開(kāi)后所有項(xiàng)系數(shù)之和為（1+2）⁷=3⁷，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 2ⁿ=2⁷．
（Ⅱ）展開(kāi)式中的通項(xiàng)  T_k+1=C₇^K•2^K•x

k

3

，k∈z，故當(dāng) k=0，3，6時(shí)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，
故有理項(xiàng)為第一項(xiàng)  T₁=1，第四項(xiàng) T₄=C₇³•8x=280x，第七項(xiàng)  T₇=C₇⁶•2⁶x²=448x²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出n值，是解題的關(guān)鍵．