Question

(本小題滿分14分) 設(shè)圓,將曲線上每一點的縱坐標(biāo)壓縮到原來的,對應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線C.經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m≠0),交曲線C于A、B兩個不同點.

(1)求曲線的方程；

(2)求m的取值范圍；

(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

【解析】解:(1)在曲線上任取一個動點P(x,y),則點(x,2y)在圓上.所以有.整理得曲線C的方程為.

它表示一個焦點在x軸上的橢圓.                               …………4分

 (2)∵直線平行于OM，且在y軸上的截距為m,又,

∴直線的方程為.                                      …………6分

由,                              …………7分

∵直線與橢圓交于A、B兩個不同點，     …………8分

解得.∴m的取值范圍是.    …………10分

(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可.

設(shè)

,可得 .……12分

.

k₁+k₂=0.故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.                 …………14分