Question

（本小題滿分12分）

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P—ABCD中，，

平面

（1）求證：平面PAC；

 (2) 求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）二面角的大小為.

【解析】本題主要考察空間中直線和直線之間的位置關系以及二面角的求法．一般在證明線線垂直時，通常先證明線面垂直，進而推得線線垂直，或用三垂線定理或其逆定理．

（1）先取AB 中點為O，連接PO，CO，根據條件得到PO⊥AB，再結合側面PAB⊥底面ABCD，得到PO⊥底面ABCD，即可得到OC為PC在底面ABCD上的射影；最后結合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到結論．

（2）建立空間直角坐標系，然后分析法向量與法向量的夾角得到結論。

解：（1）如圖，建立坐標系，

則，

   ， ……………………………2分

      ，

又，     .      ……………………………………6分

（2）設平面的法向量為，

設平面的法向量為，

則   …………………8分

 解得，

令，則   ……………………………………………………10分

  二面角的大小為.  …………12分