Question

如果實數x，y，t滿足|x-t|≤|y-t|，則稱x比y接近t．
（Ⅰ）設a為實數，若a|a|比a更接近1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）=ln，證明：比更接近0（k∈Z）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得，||a|a|-1|≤|a-1|，由于去絕對值需要考慮a的范圍，分類討論：（1）0＜a＜1（2）a≥1（3）a≤0三種情況求解a的范圍
（Ⅱ）要證明比更接近0（k∈Z），只要證明=≤0即可
解答：解：（I）由題意可得，||a|a|-1|≤|a-1|
（1）當0＜a＜1時，|a²-1|≤|a-1|
1-a²≤1-a，得a≥1或a≤0（舍去）
（2）當a≥1時，a²-1≤a-1，得a=1；
（3）當a≤0時，a²+1≤1-a，-1≤a≤0．
綜上，a的取值范圍是{a|-1≤a≤0或a=1}
（Ⅱ）∵++…+=，
∴=．
令n（n+1）=t，∵n≥2∴t∈[6，+∞），且t∈Z，則
F（t）==．==
∴F（x）在[2，+∞）單調遞減∴F（t）≤f（6）＜F（2）=-ln1-0=0．
∴，即≤0．
∴比更接近0．
點評：本題以新定義為載體主要考查了絕對值不等式的解法，利用導數判斷函數的單調性求解函數的最值，屬于綜合性試題