Question

定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：
①對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）；
②當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
則：若方程f（x）=0在區間[a，6-a]上恰有3個不同實根，實數a的取值范圍是

（-9，-3]

．

Answer 1

分析：由題意可得函數在[0，3]上單調遞增，再由偶函數的圖象關于y軸（x=0）對稱，故在[-3，0]上為減函數．令x=-3求得f（3）=0，f（x+6）=f（x），f（x）是周期等于6的周期函數，故函數關于x=6對稱，求得f（-9）=0，f（-3）=0，f（3）=0=f（6）=f（9），要使方程f（x）=0在區間[a，6-a]上恰有3個不同實根，則區間長度6-2a 滿足 12≤6-2a＜15，
由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：∵當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函數在[0，3]上單調遞增．
又f（x）為偶函數，圖象關于y軸（x=0）對稱，故在[-3，0]上為減函數．
令x=-3，則由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0
因為f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+0=f（x），所以f（x）是周期等于6的周期函數，故函數關于x=6對稱，
所以f（9）=0，
因為y=f（x）是R上的偶函數，f（-9）=0，f（-3）=0，
因為f（x）在[0，3]上是增函數，所以[0，3]上只有一解為3，對稱性[-3，0]只有一解為-3，
因為f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函數，
所以f（x）在[6，9]上是增函數，所以[6，9]上只有一解為9，因為f（x）關于x=6對稱，
所以f（x）在[3，6]上只有一解為3，
由對稱性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，
要使方程f（x）=0在區間[a，6-a]上恰有3個不同實根，則區間長度6-2a 滿足 12≤6-2a＜15，解得-9＜a≤-3．
∴實數a的取值范圍是（-9，-3]，
故答案為（-9，-3]．

點評：本題是一道抽象函數問題，題目的設計“小而巧”，解題的關鍵是巧妙的賦值，利用其奇偶性和所給的關系式得到函數的周期性，再利用周期性求函數值．靈活的“賦值法”是解決抽象函數問題的基本方法，屬于中檔題．