Question

（本小題滿分12分）已知直三棱柱中，，，點在上．

 

 

（1）若是中點，求證：∥平面;

（2）當時，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：連結BC₁，交B₁C于E，DE．

∵ 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，

 ∴側面B B₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，

∴ DE// AC₁．                  …………………………………2分

因為 ∵DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    

 ∴AC₁∥平面B₁CD．      …………………………………4分

（2）   ∵ AC⊥BC，

所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．     

 

       

則B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A₁ (0, 0, c)，B₁ (3, 0, 4)．

設D (a, b, 0)（，），          …………………5分

∵點D在線段AB上，且， 即．

∴．                     …………………7分

所以，，．                     

高三數學（理工類）參考答案第2頁（共4頁）

平面BCD的法向量為．  ……………………………………8分

設平面B₁ CD的法向量為，

由 ，， 得 ，

所以，．  ……………………………………10分                   

設二面角的大小為， ． ……………………11分

所以二面角的余弦值為．          ……………………12分

【解析】略