Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點p（2，0），且在點p處有相同的切線．
（1）求實數(shù)a，b，c
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在[2，m]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）欲求實數(shù)a，b，c的值，只須求出切線斜率的值，故先利用導數(shù)求出在x=2處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用斜率相等及都過點P列出等量關(guān)系，從而問題解決．
（II）欲求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在[2，m]上的最小值．先求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)來解決．先求出F（x）的導數(shù)，根據(jù)F′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，F(xiàn)′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，再判斷[2，m]的單調(diào)性從而求出最小值．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點p（2，0），
所以f（2）=0，即2×2³+2a=0，a=-8①；g（2）=0即4b+c=0②，
又f'（x）=6x²+a，g'（x）=2bx，
因為f（x），g（x）在點p處有相同的切線，所以f'（2）=g'（2），
即24+a=4b③由①②③得a=-8，b=4，c=-16．
（2）F（x）=f（x）+g（x）=2x³+4x²-8x-16，F(xiàn)‘（x）=6x²+8x-8，
解不等式F‘（x）=6x²+8x-8≥0得x≤-2或x≥

2

3

；
F′（x）=6x²+8x-8≤0得-2≤x≤

2

3

故單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2]，[

2

3

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-2，

2

3

]，
因此，[2，m]是增區(qū)間，F(xiàn)（x）的最小值為F（2）=16+16-16-16=0，
故F（x）在[2，m]上的最小值為0．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，最值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．