Question

在△ABC中，a，b，c分別是三內角A，B，C所對應的三邊，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）若，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）將b²+c²=a²+bc⇒b²+c²-a²=bc⇒，由同性結合余弦定理知cosA=，可求出A的大小；
（2）用半角公式對進行變形，其可變為cosB+cosC=1，又由（1）的結論知，A=，故B+C=，與cosB+cosC=1聯立可求得B，C的值，由角判斷△ABC的形狀．
解答：解：（1）在△ABC中，∵b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴，
∴cosA=，
又A是三角形的內角，故A=
（2）∵，
∴1-cosB+1-cosC=1∴cosB+cosC=1，
由（1）的結論知，A=，故B+C=
∴cosB+cos（-B）=1，
即cosB+coscosB+sinsinB=1，
即
∴sin（B+）=1，
又0＜B＜，∴＜B+＜π
∴B+=
∴B=，C=
故△ABC是等邊三角形．
點評：本題考點是三角形中的余弦定理，考查余弦定理與三角恒等變換公式，是解三角形中綜合性較強的一道題．