Question

袋子A和B中分別裝有若干個質地均勻，大小相同的紅球和白球，從A中摸出一個球，得到紅球的概率是，從B中摸出一個球，得到紅球的概率為p．
（Ⅰ）若A，B兩個袋子中的球數之比為1：3，將A，B中的球混裝在一起后，從中摸出一個球，得到紅球的概率是，求p的值；
（Ⅱ）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，若累計三次摸到紅球即停止，最多摸球5次，5次之內（含5次）摸到紅球的次數為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

解：（1）解設A中有x個球，B中有y個球，由題意知且解得：
（2）由題意知從A中摸到一個紅球的概率為，ξ的取值為0，1，2，3

ξ	0	1	2	3
P

．
分析：（I）由題意設A中有x個球，B中有y個球，由于A，B兩個袋子中的球數之比為1：3，且從A中摸出一個球，得到紅球的概率是，從B中摸出一個球，得到紅球的概率為p，利用條件得方程解之得；
（II）由于從A從A中有放回地摸球，每次摸出一個，若累計三次摸到紅球即停止，最多摸球5次，5次之內（含5次）摸到紅球的次數為隨機變量ξ中摸到一個紅球的概率為，所以可以得知：ξ的取值為0，1，2，利用二項分布及期望定義即可求得．
點評：此題考查了學生的理解與計算能力，還考查了方程的思想，二項分布，隨機變量的定義及分布列，還考查了期望的定義．