Question

已知a是實數,函數f(x)=2ax²+2x-3-a.如果函數y=f(x)在區間［-1,1］上有零點,求a的取值范圍.

(文)已知函數f(x)=x²+x-1,α、β是方程f(x)=0的兩個根(α＞β),f′(x)是f(x)的導數.設a₁=1,a_n+1=a_n(n=1,2,…).

(1)求α、β的值;

(2)已知對任意的正整數n有a_n＞α,記b_n=ln(n=1,2,…),求數列{b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

答案：分析:本小題主要考查二次函數及其性質、一元二次方程、函數應用、解不等式等基礎知識,考查數形結合、函數與方程、分類與整合的數學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創新意識.

解：解法一:若a=0,則函數f(x)=2x-3在區間[-1,1]上沒有零點.下面就a≠0時分三種情況討論:

(1)方程f(x)=0在區間[-1,1]上有重根,此時Δ=4(2a²+6a+1)=0,解得a=.當a=時,f(x)=0的重根x=∈[-1,1];當a=時,f(x)=0的重根x=[-1,1].

故當方程f(x)=0在區間[-1,1]上有重根時,a=.

(2)f(x)在區間[-1,1]上只有一個零點且不是f(x)=0的重根.此時有f(-1)f(1)≤0.∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1,∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5.∵當a=5時,方程f(x)=0在區間[-1,1]上有兩個相異實根,故當方程f(x)=0在區間[-1,1]上只有一個根且不是重根時,1≤a＜5.

(3)方程f(x)=0在區間[-1,1]上有兩個相異實根.∵函數f(x)=2a-(x+)²--a-3,

其圖象的對稱軸方程為x=-,a應滿足:

(1)或(2)

解不等式組(1)得a≥5.解不等式組(2)得a＜.

故當方程f(x)=0在區間[-1,1]上有兩個相異實根時,a∈(-∞,)∪[5,+∞).

綜上所述,函數y=f(x)在區間[-1,1]上有零點,則a的取值范圍是(-∞,]∪[1,+∞).

解法二:若a=0,則函數f(x)=2x-3在區間[-1,1]上沒有零點.

下面討論a≠0時的情況:

(1)若f(-1)f(1)≤0,則f(x)必在[-1,1]上有零點.∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1,∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5,即1≤a≤5時,函數f(x)在區間[-1,1]上有零點.

(2)若f(-1)f(1)＞0,下面分兩種情況討論:

①當f(-1)=a-5＞0,f(1)=a-1＞0,即a＞5時,

有|-|＜1,拋物線y=f(x)的對稱軸x=-必在直線x=-1和x=1之間,且f(-)=--3-a＜0,于是f(-1)f(-)＜0,f(1)f(-)＜0.∴函數f(x)在區間(-1,-)和(-,1)內各有一個零點.

故當a＞5時,函數f(x)在區間[-1,1]上有零點.

②當f(-1)=a-5＜0,f(1)=a-1＜0,即a＜1時,

(ⅰ)當0＜a＜1時,f(x)=0的兩根x₁,2=.

由于1+6a+2a²-(1+2a)²=2a(1-a)＞0,∴＞1+2a.

于是x₁=＞1,x₂=＜-1.

故當0＜a＜1時,函數f(x)在區間[-1,1]上沒有零點.

(ⅱ)當a＜0時,若函數f(x)在區間[-1,1]上有零點,則f(x)的最大值f(-)≥0.否則由于f(-)是最大值,函數f(x)在區間[-1,1]上沒有零點.此時拋物線y=f(x)的對稱軸x=-在直線x=-1和x=1之間,即a滿足解之,得a≤,

即當a≤時,函數f(x)在區間[-1,1]上有零點.

綜上所述,若函數y=f(x)在區間[-1,1]上有零點,則a的取值范圍是(-∞,]∪[1,+∞).

(文)分析:本小題主要考查函數、導數、一元二次方程、對數、數列等基礎知識,考查合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力.

解：(1)由x²+x-1=0解得方程的兩根為x₁,2=.

又∵α、β是方程的兩個根,且α＞β,∴α=,β=.

(2)∵f′(x)=2x+1,∴a_n+1=a_n-.

∵a_n＞α＞β(n=1,2,3,…),且a₁=1,∴b₁=ln=ln=lnβ⁴=4ln.

〔或b₁=ln=ln=ln=4ln〕

b_n+1=ln

=2b_n,即{b_n}是以b₁為首項,以2為公比的等比數列.故數列{b_n}前n項之和為S_n==(2ⁿ-1)·4ln=(2ⁿ⁺²-4)ln.