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已知函數F(x)=
3x-2
2x-1
(x≠
1
2
)

(I)求F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
);
(II)已知數列{an}滿足a1=2,an+1=F(an),證明{
1
an-1
}為等差數列(n∈N*),并求數列{an}的通項公式;
(III)已知若b>a>0,c>0,則必有
b
a
b+c
a+c
,利用此結論,求證:a1a2…an
2n+1
(n∈N*).
分析:(I)由F(x)=
3x-2
2x-1
(x≠
1
2
)
,得F(x)+F(1-x)=3,設S=F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
),利用倒序相加法能求出F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
)的值.
(II)將等式an+1=F(an)的兩邊同時減去1,得an+1-1=
3an-2
2an-1
-1
=
an-1
2an-1
,由此能證明證明{
1
an-1
}為等差數列(n∈N*),并求數列{an}的通項公式.
(III)由
2n
2n-1
2n+1
2n
,得an=
2n
2n-1
2n+1
2n-1
,由此能夠證明a1a2…an
2n+1
(n∈N*).
解答:解:(I)∵F(x)=
3x-2
2x-1
(x≠
1
2
)

∴F(x)+F(1-x)=
3x-2
2x-1
+
3(1-x)-2
2(1-x)-1

=
3x-2
2x-1
+
1-3x
1-2x
=
6x-3
2x-1
=3,
設S=F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
),①
則S=F(
2010
2011
)+F(
2009
2011
)+…+F(
1
2011
),②
①+②,得2S=[F(
1
2011
)+F(
2010
2011
)]+[F(
2
2011
)+F(
2009
2011
)]+…+[F(
2010
2011
)+F(
1
2011
)]=3×2010=6030,
∴S=3015,
∴F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
)=3015.
(II)將等式an+1=F(an)的兩邊同時減去1,
an+1-1=
3an-2
2an-1
-1
=
an-1
2an-1

1
an+1-1
=
2an-1
an-1
=
2(an-1)+1
an-1
=2+
1
an-1

1
an+1-1
-
1
an-1
=2
,又
1
a1-1
=
1
2-1
=1

∴數列{
1
an-1
}是以2為公差,1為首項的等差數列,
所以
1
an-1
=1+(n-1)×2
=2n-1,
所以an=1+
1
2n-1
=
2n
2n-1

(III)∵
2n
2n-1
2n+1
2n

(
2n
2n-1
)
2
2n+1
2n
2n
2n-1
=
2n+1
2n-1

an=
2n
2n-1
2n+1
2n-1

∴a1a2…an
3
1
×
5
3
×
7
5
×…×
2n+1
2n-1
=
2n+1
(n∈N*).
點評:本題考查數列的通項公式的求法,考查等差數列的證明,解題時要認真審題,仔細解答,注意構造法和放縮法的合理運用.
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x
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