Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，a_n=2a_n-1+1，依次計算a₂，a₃，a₄后，猜想a_n的一個表達式是（　　）

A．n²-1

B．（n-1）²+1

C．2ⁿ-1

D．2^n-1+1

Answer 1

分析：由遞推式可求得數列的前4項，從而可猜想a_n，通過構造等比數列可求證．

解答：解：由a₁=1，當n≥2時，a_n=2a_n-1+1，得
a₂=2a₁+1=2×1+1=3，a₃=2a₂+1=2×3+1=7，a₄=2a₃+1=2×7+1=15，
猜想an=2n-1，證明如下：
由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
∴{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，
則a_n+1=2ⁿ，∴an=2n-1，
故選C．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項公式，考查學生觀察分析能力及推理論證能力．