Question

已知數列{a_n}中，a₁=，a₂=，且數列{b_n}是公差為－1的等差數列，其中b_n=log₂（a_n+1-），數列{c_n}是公比為的等比數列，其中c_n=a_n+1-，求數列{a_n}的通項公式及它的前n項和.

Answer 1

∵a₁=，a₂=，

　　∴b₁=log₂（-×）=-2，c₁=-×=.

　　∵{b_n}是公差為－1的等差數列，{c_n}是公比為的等比數列.

　　∴b_n=

　　即即

　　消去a_n+1，得a_n=-.

　　S_n=a₁+a₂+…+a_n=3（+++…+）+2（+++…+）

　　=3×2×=3--1+.

解析:

求通項公式就是求一個關于n的未知函數.在事先無法估計函數的形式結構時，只要列出關于這個未知函數的方程或方程組即可求解.這正是數學思維的基本觀點之一——方程觀點在求函數解析式問題中的應用.

a_n是關于n的未知函數.由已知條件，事先無法估計a_n的解析式的形式結構，因此不能用待定系數法求a_n.但是利用等差數列{b_n}和等比數列{a_n}可以列出關于a_n+1和a_n的兩個等式，視它們為關于a_n+1和a_n的方程組，消去a_n+1即可得a_n.