Question

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_n是首項為10，公差為-2的等差數列；a_n+1，a_n+2，…，a_2n是首項為，公比為的等比數列（m≥3，m∈N^*），并對任意n∈N^*，均有a_n+2n=a_n成立．
（1）當m=12時，求a₂₀₁₂；
（2）若a₅₂=，試求m的值；
（3）判斷是否存在m，使S_128m+3≥2012成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，a_n+24=a_n，可得a₂₀₁₂=a₂₀，從而a₂₀是首項為，公比為的等比數列的第8項，可求a₂₀₁₂；
（2）先確定m≥7，利用a₅₂=，，可得（2k+1）m=45，進而分類討論，即可求m的值；
（3）先計算S_128m+3，再將S_128m+3≥2012等價變形，從而可得704m-64m²≥1924+64×，確定左右兩邊的最值，即可得到結論．
解答：解：（1）由題意，a_n+24=a_n，∴a₂₀₁₂=a₂₀，
∴a₂₀是首項為，公比為的等比數列的第8項，
∴a₂₀₁₂=
（2）∵，∴m≥7
∵a₅₂=，
∴2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N
∴（2k+1）m=45，
當k=0時，m=45，成立；當k=1時，m=15，成立；當k=2時，m=9成立；當k≥3時，m≤＜7
∴m可取9、15、45；
（3）S_128m+3=64S_2m+a₁+a₂+a₃=64{10m++}+10+8+6
∴S_128m+3=704m-64m²+88-64×≥2012
∴704m-64m²≥1924+64×
設f（m）=704m-64m²，g（m）=1924+64×，g（m）＞1924；
f（m）=-64（m²-11m），對稱軸m=，
所以f（m）在m=5或6時取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
因為1924＞1920，所以不存在這樣的m．
點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查學生分析解決問題的能力，正確理解無窮數列是關鍵．