Question

設函數f(x)=5sin(

π

3

x-

π

6

)，若對任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為

3

．

Answer 1

分析：根據題意，x₁、x₂是函數的兩個最值點，一個是最小值點且另一個是最大值點．由此可得|x₁-x₂|=

T

2

•（2k-1），（k∈N^*），利用三角函數的周期公式即可算出|x₁-x₂|的最小值．

解答：解：∵對任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
∴x₁、x₂是函數f(x)=5sin(

π

3

x-

π

6

)的兩個最值點，其中一個是最小值點，另一個是最大值點
因此，|x₁-x₂|等于半個周期的正奇數倍
∵函數的周期T=

2π

π 3

=6
∴|x₁-x₂|=3（2k-1），（k∈N^*），取k=1，得|x₁-x₂|的最小值為3．
故答案為：3

點評：本題給出函數f(x)=5sin(

π

3

x-

π

6

)滿足的條件，求|x₁-x₂|的最小值．著重考查了三角函數的周期公式、正弦函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．