Question

【題目】如下圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求證：BC⊥平面PAC；

(2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；

(3)是否存在點E，使得二面角A－DE－P為直二面角？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2） (3)見解析

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標系，（1）通過證明，再結(jié)合即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論進一步說明是與平面所成的角，先通過向量夾角公式求出余弦值，再求正弦值；（3）由已知條件推導(dǎo)出為二面角的平面角，由此能推導(dǎo)出存在點使得二面角是直二面角．

以A為原點，，分別為y軸、z軸的正方向，

過A點且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)．

(1)＝(0,0，a)，＝，∴＝0，∴⊥，∴BC⊥AP，

又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

(2)∵D為PB的中點，DE∥BC，∴E為PC的中點，

∴D，E，

∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E，

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，

∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為.

(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角A－DE－P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，

∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時∠AEP＝90°，

故存在點E，使得二面角A－DE－P是直二面角．