Question

設a、b、c為△ABC的三條邊，求證：1≤

a2+b2+c2

ab+bc+ca

＜2．

Answer 1

分析：通過作差法先證明a²+b²+c²-（ab+bc+ac）≥1①，再利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質，去證明2（ab+bc+ca）＜a²+b²+c²，從而可證

a2+b2+c2

ab+bc+ca

＜2②，聯立①②即可．

解答：證明：∵a、b、c為△ABC的三條邊，
∴a²+b²+c²-（ab+bc+ac）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（a²-2ac+c²）+（b²-2bc+c²）]
=

1

2

[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]≥0，
∴a²+b²+c²-≥ab+bc+ac，
∴

a2+b2+c2

ab+bc+ca

≥1①；
又2（ab+bc+ca）
=（ab+bc）+（bc+ca）+（ca+ab）
=b（a+c）+c（a+b）+a（b+c） 
＞b•b+c•c+a•a
=a²+b²+c²，
∴

a2+b2+c2

ab+bc+ca

＜2②；
由①②得：1≤

a2+b2+c2

ab+bc+ca

＜2（證畢）．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查綜合法，考查推理、證明能力，屬于中檔題．