Question

已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
（1）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
（2）有一個(gè)小蟲從點(diǎn)A開(kāi)始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)M，連接EM，并取AC的中點(diǎn)Q，連QE，QM，根據(jù)線面平行的判定定理可得：EQ∥平面ABD，MQ∥平面ABD，再結(jié)合面面平行的判定定理得到：平面QEM∥平面ABD，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡為線段QM．
（2）由題意可得：小蟲共走過(guò)了4條棱，并且得到基本事件總數(shù)為81，再分別討論當(dāng)小蟲走第1條棱時(shí)，第2條棱，第3條棱的所有走法，即可得到小蟲走12cm后仍回到A點(diǎn)的所有走法為21種，進(jìn)而根據(jù)等可能事件的概率公式求出答案．

解答：解：（1）取BC中點(diǎn)M，連接EM，并取AC的中點(diǎn)Q，連QE，QM，
所以EQ∥AD，EQ?平面ABD，AD?平面ABD，
所以EQ∥平面ABD．
同理可得：MQ∥平面ABD．
因?yàn)镋Q，MQ為平面QEM內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面QEM∥平面ABD，
所以得到點(diǎn)P的軌跡為線段QM．
（2）由題意可得：小蟲爬了12cm，并且恰好回到A點(diǎn)，
所以小蟲共走過(guò)了4條棱，
因?yàn)槊看巫吣硹l棱均有3種選擇，
所以所有等可能基本事件總數(shù)為3⁴=81．
當(dāng)小蟲走第1條棱時(shí)，有3種選擇，即AB，AC，AD，不妨設(shè)小蟲走了AB，
然后小蟲走第2條棱為BA或BC或BD，
若第2條棱走的為BA，則第3條棱可以選擇走AB，AC，AD，計(jì)3種可能；
若第2條棱走的為BC，則第3條棱可以選擇走CB，CD，計(jì)2種可能；
同理第2條棱走BD時(shí)，第3棱的走法亦有2種選擇．
所以小蟲走12cm后仍回到A點(diǎn)的選擇有3×（3+2+2）=21種可能．
所以所求的概率為

21

81

=

7

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行與面面平行的判定定理，以及考查等可能事件的概率公式，解決此題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題挖掘題中隱含條件，再結(jié)合列舉的方法得到所求事件包含的基本事件數(shù)，在列舉時(shí)要做到不重不漏有規(guī)律的列舉，此題屬于中檔題．