Question

已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  2

  3

• C．-

  2

  3

• D．-

  5

  2

Answer 1

分析：畫出立體圖形，根據中點找平行線，把所求的異面直線角轉化為一個三角形的內角來計算．．

解答：解：如圖，連接BN，取BN的中點K，連接FK，則MK∥CN，故∠AMKF即為所求的異面直線角或者其補角．
設這個正四面體的棱長為2，在△AKM中，AM=

3

=CN，MK=

1

2

CN=

3

2

．
AK=

AN2+KN2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．
∴cos∠AMK=

AM2+MK2 -AK2

2AM•MK

=

3+ 3 4 - 7 4

2× 3 ×  3 2

=

2

3

．
∴sin∠AMK=

1-cos 2∠AFK

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

，
∴tan∠AMK=

sin∠AMK

cos∠AMK

=

5 3

2 3

=

5

2

．
故選A．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧．本題易錯點在于要看清是求異面直線AF=M和CN所成角的正切值，而不是余弦值．