Question

 

     過點作曲線的切線，切點為，設在軸上的投影是點；又過點作曲線的切線，切點為，設在軸上的投影是點；依此下去，得到一系列點，，；設它們的橫坐標構成數列為.

（1）求數列的通項公式；

（2）求證：；

（3）當時，令求數列的前項和.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）對求導數，得，切點是的切線方程是.…2分

當時，切線過點，即，得;

當時，切線過點，即，得.

所以數列是首項，公比為的等比數列，

所以數列的通項公式為.………4分(文………6分)

（1）應用二項式定理，得

………8分

（2）當時，數列的前項和=

同乘以，得=兩式相減，………10分（文………8分）

得=，

所以=.………12分