Question

如圖所示，已知線段|AB|=4，動圓O’與線段AB切于點C，且|AC|―|BC|=，過點A、B分別作⊙O’的切線，兩切線相交于點P；且P、O’在AB的同側．

(1)建立適當的坐標系，當O’位置變化時，求動點P的軌跡E的方程；

(2)過點B作直線交曲線E于M、N，求△AMN面積的最小值．

Answer 1

解：(1)以AB所在直線為軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，設點P為(，y)，

PA、PB分別切⊙，于E、F，則|PE|=|PF|，|AE|=|AC|，|BC|=|BF|，

又|AC|―|BC|=|PA|一|BP|=2>0，

故點P的軌跡E是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線右支(除去與軸交點)，

由題意知=2，c=2，則b²=2．故P點軌跡E的方程為)

    (2)設直線的方程為

    聯立方程組

設M()、N()，則y_l+y₂=, y_ly₂=，

| y_l－y₂|²=( y_l+y₂)²－4 y_ly₂₌ ,

∴S_△AMN==

又，則，而函數在(0，+∞)上單調遞增，

故當sin=1，即=時，A_△AMN取得最小值，最小值為．