Question

已知函數f(x)=

a

x

+lnx(a∈R)，當x=1時，函數y=f（x）取得極小值．
（1）求a的值；
（2）證明：若x∈(0，

1

2

)，則f(x)＞

3

2

-x．

Answer 1

分析：（1）因為當x=1時，函數y=f（x）取得極小值，所以f′（1）=0，從而求出a值，再驗證x=1是否極值點即可．
（2）當x∈(0，

1

2

)時，f(x)＞

3

2

-x?f（x）+x＞

3

2

?[f(x)+x]min＞

3

2

，利用導數求出f（x）+x的最小值即可．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞）．
f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．
∵x=1時函數y=f（x）取得極小值，
∴f′（1）=0，得a=1．
當a=1時，在（0，1）內f′（x）＜0，在（1，+∞）內f′（x）＞0，
∴x=1是函數y=f（x）的極小值點．
故a=1．
（2）證明：f（x）＞

3

2

-x等價于：f（x）+x＞

3

2

．
令g（x）=f（x）+x，則g′(x)=

x-1

x2

+1=

x2+x-1

x2

，
令h（x）=x²+x-1，
∵h（0）=-1＜0，h（

1

2

）=-

1

4

＜0，
∴x∈(0，

1

2

)時，h（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，

1

2

）上單調遞減．
∴g（x）＞g(

1

2

)，即g（x）＞2-ln2+

1

2

=

3

2

+(1-ln2)＞

3

2

，
∴f（x）+x＞

3

2

，
故f（x）＞

3

2

-x．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值及極值概念，注意轉化思想在本題中的運用．