Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=12，當(dāng)且僅當(dāng)m為何值時，向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直．

Answer 1

分析 首先由已知向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直得到（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$）=0，展開，得到模長關(guān)系式，求出m．

解答 解：若向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直，則有（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}$²-m²$\overrightarrow{b}$²=0．
∵|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=12，
∴25-144m ²=0．
∴m=±$\frac{5}{12}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=±$\frac{5}{12}$時，向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$互相垂直．

點評 本題考查了平面向量垂直，數(shù)量積為0的運用；屬于基礎(chǔ)題．