Question

如圖F₁、F₂是橢圓C₁：+y²=1與雙曲線C2的公共焦點A、B分別是C₁、C₂在第二、四象限的公共點，若四邊形AF₁BF₂為矩形，則C₂的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：不妨設|AF₁|=x，|AF₂|=y，依題意，解此方程組可求得x，y的值，利用雙曲線的定義及性質即可求得C₂的離心率．
解答：解：設|AF₁|=x，|AF₂|=y，∵點A為橢圓C₁：+y²=1上的點，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴+=，即x²+y²=（2c）²==12，②
由①②得：，解得x=2-，y=2+，設雙曲線C₂的實軸長為2a，焦距為2c，
則2a=，|AF₂|-|AF₁|=y-x=2，2c=2=2，
∴雙曲線C₂的離心率e===．
故選D．
點評：本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質，求得|AF₁|與|AF₂|是關鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．