Question

【題目】如圖甲所示的平面五邊形中，，，，，，現將圖甲所示中的沿邊折起，使平面平面得如圖乙所示的四棱錐．在如圖乙所示中

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）在棱上是否存在點使得與平面所成的角的正弦值為？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，理由見解析.

【解析】

（1）推導出AB⊥AD，AB⊥平面PAD，AB⊥PD，PD⊥PA，由此能證明PD⊥平面PAB；

（2）取AD的中點O，連結OP， OC，由知OC⊥OA，以為坐標原點，OC所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的大小；

（3）假設點M存在，其坐標為(x, y, z)，BM與平面PBC所成的角為，則存在λ∈(0， 1)，有，利用向量法能求出在棱PA上滿足題意的點M存在．

（1）∵，，，

∴，

∴，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

又∵平面，

∴，

又∵，，

∴平面．

（2）取的中點，連結，，

由平面平面知平面，

由知，

以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系

如圖所示，

則易得，，，，，

設平面的法向量為，

由，得，

令得，，

∴，

設二面角大小為，

則，

∵，

∴二面角的大小．

（3）假設點存在，其坐標為，與平面所成的角為，

則存在，有，

即，，

則，

從而化簡得，

解得

∵，

∴

∴在棱上滿足題意的點存在．