Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）求使f（x）≥2的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性即可得出．
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）∵f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+2cos2x+1
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1．
∴f（x）_max=2+1=3.T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
（2）∵f（x）≥2，∴2sin(2x+

π

6

)+1≥2．
∴sin(2x+

π

6

)≥

1

2

．
∴2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5

6

π，
∴kπ≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
∴f（x）≥2的x的取值范圍是{x|kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z}．

點評：熟練掌握兩角和差的正弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性等是解題的關(guān)鍵．