Question

 （本小題滿分12分）如圖，在四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A= D₁D=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點。

（Ⅰ）求證：A₁O∥平面AB₁C；

       （Ⅱ）求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：如圖（1），連結(jié)CO，AC，…… 1分

則四邊形ABCO為正方形. ………………………2分

∴OC=AB=A₁ B₁，且OC∥AB∥A₁ B₁

     ∴四邊形A₁ B₁CO為平行四邊形. ………………3分

∴A₁ O∥B₁ C………………………………………4分

      又A₁ O奐平面AB₁C，B₁C奐  平面AB₁C. ………5分

∴A₁ O∥平面AB₁C. ……………………………6分

（Ⅱ）∵D₁ A=D₁ D,O為AD中點. ∴D₁ O⊥AD.

       又側(cè)面A₁ ADD₁ ⊥底面ABCD.

       ∴D₁ O⊥底面ABCD. ………………………………7分

以O(shè)為原點，OC，OD，OD₁所在直線分別為x軸、y軸、

z軸建立如圖（2）所示的坐標(biāo)系，則C（1，0，0）.

   D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，-1，0），……8分

∴（1，-1，0），=（0，-1，1）

=（0，-1，-1），=（1，-1，0），……9分

設(shè)m=（x,y,z）為平面C₁CD₁D的一個法向量.

…………………………………10分

又設(shè)n=（x₁，y₁，z₁）為平面AC₁D₁的一個法向量.

令z₁=1，則y₁=-1，x₁=-1. ∴n=（-1，-1，1）. ………………………………………11分

故所求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值為.………………………………………………12分

注：第（Ⅱ）問用幾何法做的酌情賦分.