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函數f( x )=2x-
ax
的定義域為(0,+∞)(a為實數).
(1)當a=-1時,求函數y=f(x)的值域(不必說明理由);
(2)若函數y=f(x)在[1,+∞)定義域上是增函數,求負數a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若不等式f(m•4x+1)≥f(2x)(m>0,且m為常數)在x∈(0,+∞)恒成立,求實數m的取值范圍.
分析:(1)由f( x )=2x-
a
x
的定義域為(0,+∞),a=-1,知f(x)=2x+
1
x
≥2
2x•
1
x
=2
2
,由此能求出函數y=f(x)的值域.
(2)函數y=f(x)在[1,+∞)上是增函數,任取x1,x2∈(0.1]且x1<x2,都有f(x1)>f(x2)成立,由此能求出負數a的取值范圍.
(3)m>0,x∈(0,+∞),從而m•4x+1>1且2x>1,由此能求出實數m的取值范圍.
解答:解:(1)∵f( x )=2x-
a
x
的定義域為(0,+∞),a=-1,
∴f(x)=2x+
1
x
≥2
2x•
1
x
=2
2

當且僅當2x=
1
x
,x=
2
2
時取等號,
∴函數y=f(x)的值域為[ 2
2
, +∞ )
; …(2分)
(2)函數y=f(x)在[1,+∞)上是增函數,
則任取x1,x2∈(0.1]且x1<x2,都有f(x1)>f(x2)成立,
從而有f(x1)-f(x2)=(2x1-
a
x1
)-(2x2-
a
x2
)=(x1-x2)(2+
a
x1x2
)<0

?2+
a
x1x2
>0?a>-2x1x2
在[1,+∞)上成立
∴-2≤a<0,
∴負數a的取值范圍是[-2,0).…(5分)
(3)∵m>0,x∈(0,+∞),
從而m•4x+1>1且2x>1,
從而又(2)可得:f(m•4x+1)≥f(2x)?m•4x+1≥2x?m≥
2x-1
4x
在x∈(0,+∞)上恒成立.
t=
1
2x
∈(0,1)
g(t)=-t2+t=-(t-
1
2
)2+
1
4

從而可得g(t)max=g(
1
2
)=
1
4

∴實數m的取值范圍是{m|m≥
1
4
}.…(5分)
點評:本題考查函數的值域的求法,考查滿足條件的實數的取值范圍的求法,綜合性強,難度大,考查運算推理能力和等價轉化思想,解題時要認真審題,注意均值不等式的合理運用.
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已知函數f(x)=
2-x(x≥0)
x-2(x<0)
,滿足x+(x+2)f(x+2)≤2的x取值范圍是
 

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函數f(x)=
2-log3x
的定義域是
 

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已知函數f(x)=
(2-a)x-
a
2
,(x<1)
logax,(x≥1)
是R上的增函數,那么實數a的取值范圍是( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2(ln
1+x
+
1
2
x2)-ax
,其中a為常數.
(Ⅰ)若f(x)在(0,1)上單調遞增,求實數a的取值范圍;
(Ⅱ)求證:D
n
k=2
k-1
k2
<ln
n+1
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知:向量
m
=(sinx,
3
4
),
n
=(cosx,-1)
,設函數f(x)=2(
m
+
n
)•
n

(1)求f(x)解析式;
(2)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=
3
,b=2,sinB=
6
3
,求f(x)+4cos(2A+
π
6
) (x∈[0,
π
2
])
的取值范圍.

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