Question

函數f( x )=2x-

a

x

的定義域為（0，+∞）（a為實數）．
（1）當a=-1時，求函數y=f（x）的值域（不必說明理由）；
（2）若函數y=f（x）在[1，+∞）定義域上是增函數，求負數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若不等式f（m•4^x+1）≥f（2^x）（m＞0，且m為常數）在x∈（0，+∞）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f( x )=2x-

a

x

的定義域為（0，+∞），a=-1，知f（x）=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，由此能求出函數y=f（x）的值域．
（2）函數y=f（x）在[1，+∞）上是增函數，任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，由此能求出負數a的取值范圍．
（3）m＞0，x∈（0，+∞），從而m•4^x+1＞1且2^x＞1，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f( x )=2x-

a

x

的定義域為（0，+∞），a=-1，
∴f（x）=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，
當且僅當2x=

1

x

，x=

2

2

時取等號，
∴函數y=f（x）的值域為[ 2

2

， +∞ )； …（2分）
（2）函數y=f（x）在[1，+∞）上是增函數，
則任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
從而有f(x1)-f(x2)=(2x1-

a

x1

)-(2x2-

a

x2

)=(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＜0
?2+

a

x1x2

＞0?a＞-2x1x2在[1，+∞）上成立
∴-2≤a＜0，
∴負數a的取值范圍是[-2，0）．…（5分）
（3）∵m＞0，x∈（0，+∞），
從而m•4^x+1＞1且2^x＞1，
從而又（2）可得：f(m•4x+1)≥f(2x)?m•4x+1≥2x?m≥

2x-1

4x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令t=

1

2x

∈(0，1)，g(t)=-t2+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
從而可得g(t)max=g(

1

2

)=

1

4

∴實數m的取值范圍是{m|m≥

1

4

}．…（5分）

點評：本題考查函數的值域的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，考查運算推理能力和等價轉化思想，解題時要認真審題，注意均值不等式的合理運用．