Question

已知函數的圖象與x軸相切于點S(s，0)．

(Ⅰ)求函數f(x)的解析式；

(Ⅱ)若函數f(x)的圖象與過坐標原點O的直線l相切于點T(t，f(t))，且f(t)≠0，證明：1＜t＜e；(注：e是自然對數的底)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由，得．　1分 　　∵函數的圖象與軸相切于點， 　　∴，　① 　　且　②　2分 　　聯立①②得，．　3分 　　∴．　4分 　　(Ⅱ)． 　　∵函數的圖象與直線相切于點，直線過坐標原點， 　　∴直線的方程為：， 　　又∵在直線上，∴實數必為方程　．③的解．　5分 　　令，則， 　　解得，得． 　　∴函數在遞減，在遞增．　7分 　　∵，且函數在遞減， 　　∴是方程在區間內的唯一一個解， 　　又∵，∴不合題意，即．　8分 　　∵，，函數在遞增， 　　∴必有．　9分 　　(Ⅲ)∵，∴， 　　由③得，　10分 　　∵，且，∴． 　　∵，∴，　11分 　　∵，，　13分 　　∴， 　　∵在單調遞增，∴．　14分 　　本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、曲線的切線方程、函數的零點、解不等式、直線方程和三角函數等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想、特殊與一般思想． 　　題干可以更簡練地表述為“已知直線是函數的一條切線”，但擔心影響試題第(Ⅰ)題的得分．第(Ⅱ)題，由切線過點得到關于實數的方程，將問題轉化為函數的零點區間判定問題，排除零點在區間內是該題的一個難點(在(Ⅰ)的啟發下，想到是區間內的唯一零點，但因而排除)．第(Ⅲ)題的難點有兩個，一是的關于t的表達式的化簡，二是如何想到通過探討的值來實現與t取值范圍的溝通．試題三問環環相扣，前問為后問提供服務．第(Ⅲ)題還可以用分析法表達解題的過程． 　　創新點：1、函數、導數、直線(傾斜角、斜率、方程)、三角函數、不等式等基礎知識的交匯．2、充分體現導數在研究函數性質中的工具性作用． 　　爭議點：對零點的考查要求可能會引發一些爭議，對分析法的運用也可能會引發一些爭議．但“有些了解性的知識或方法，可以甚至是必要在解答題中進行考查”正是命題者想要表達的一種觀點