Question

如圖，圓O的圓心O在Rt△ABC的直角邊BC上，該圓與直角邊AB相切，與斜邊AC交于D，E，AD=DE=EC，AB=

14

．
（I）求BC的長；
（II）求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知及由切割線定理，有AB²=AD•AE=

1

3

AC•

2

3

AC，由此能求出BC的長．
（Ⅱ）設圓O與BC的交點為F，圓O的半徑為r．由割線定理，得CF•CB=CE•CD=

1

3

AC•

2

3

AC=AB²，由此能求出圓O的半徑．

解答：解：（Ⅰ）由已知及由切割線定理，
有AB²=AD•AE=

1

3

AC•

2

3

AC，
所以AC²=

9

2

AB²．…（3分）
由勾股定理得，
BC=

AC2-AB2

=7．…（5分）
（Ⅱ）設圓O與BC的交點為F，圓O的半徑為r．
由割線定理，
得CF•CB=CE•CD=

1

3

AC•

2

3

AC=AB²，…（8分）
即（7-2r）×7=14，
解得r=

5

2

．…（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線段的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意切割線定理和勾股定理的靈活運用．