Question

選修4-1幾何證明選講
如圖，圓O的圓心O在Rt△ABC的直角邊BC上，該圓與直角邊AB相切，與斜邊AC交于D，E，AD=DE=EC，AB=．
（I）求BC的長；
（II）求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據已知條件結合切割線定理，得AB²=AD•AE=AB²=63，再在Rt△ABC中利用勾股定理可算出BC的長度；
（II）設圓O的半徑為r，根據割線定理，結合（I）的計算，可得CF•CB═AC²=AB²，即（7-2r）×7=14，解之可得圓O的半徑為7．
解答：解：（Ⅰ）由已知及由切割線定理，得
AB²=AD•AE=AC•AC，所以AC²=AB²．…（3分）
∵AB=，∴AC²=×14=63
在Rt△ABC中，根據勾股定理得：BC==7．…（5分）
（Ⅱ）設圓O與BC的交點為F，圓O的半徑為r．
由割線定理，得CF•CB=CE•CD=AC•AC=AC²
結合（I）AC²=AB²，得CF•CB=AB²，…（8分）
∴（7-2r）×7=14，解之得r=，即圓O的半徑為7．…（10分）
點評：本題給出圓心在直角三角形一邊上的圓，求一條直角邊長和圓半徑的大小，著重考查了勾股定理、切割線定理等與圓有關的比例線段等知識，屬于中檔題．