Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M為空間任意兩點，且

PM

=

PB1

+6

AA1

+7

BA

+4

A1D1

，則M點一定

 

平面BA₁D₁內．（填“在”或“不在”）

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：空間向量及應用

分析：根據題意，建立空間直角坐標系，設出點P、M的坐標，求出平面BA₁D₁的方程，驗證點M是否在平面內即可．

解答： 解：以A點為原點建立坐標系，如圖所示，
設正方體邊長為1，
則

BA

=（-1，0，0），

AA1

=（0，0，1），

A1D1

=（0，1，0），
∵

PM

=

PB1

+6

AA1

+7

BA

+4

A1D1′

，
∴

PM

-

PB1

=6

AA1

+7

BA

+4

A1D1′

=（-7，4，6），
設P（0，0，0），M（x，y，z）；
∴

PB1

=（1，0，1），
所以

PM

=（-7，4，6）+（1，0，1）=（-6，4，7），
而平面BA₁D₁的方程為x+z-1=0，
把點M的坐標（-6，4，7）代入，滿足平面方程，
∴M點在平面BA₁D₁內．
故答案為：在．

點評：本題考查了空間向量的應用問題，解題時應建立適當的空間直角坐標系，設出點的坐標，是較難的題目．