Question

函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足條件：
①對任意x∈R，有f（x）＞0；
②對任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]^y；
③f(

1

3

)＞1．
（1）求f（0）的值；   
（2）求證：f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）可采用賦值法，令x=0，y=2代入可求得f（0）的值；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x1=

1

3

P1，x2=

1

3

P2，故p₁＜p₂，再判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，從而可證其單調(diào)性；

解答：解：（1）令x=0，y=2，則f（0）=[f（0）]²
∵f（0）＞0，∴f（0）=1
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
設(shè)x1=

1

3

P1，x2=

1

3

P2，則P₁＜P₂
∴f(x1)-f(x2)=f(

1

3

P1)-f(

1

3

P2)=[f(

1

3

)]P1-[f(

1

3

)]P2
∵f(

1

3

)＞1，P1＜P2，∴[f(

1

3

)]P1＜[f(

1

3

)]P2
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，難點在于用單調(diào)函數(shù)的定義證明其單調(diào)遞增時“任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x1=

1

3

P1，x2=

1

3

P2”這一步的靈活理解與應(yīng)用，屬于中檔題．